第 1 节
认识圆
先想一想
自行车、汽车、火车……轮子几乎都是圆的。为什么？
推一推看
选一种轮子，拖动滑块让它往前滚。盯住中间那个点——那是装车轴的地方，人就坐在它上面。
先在上面选一个答案，这里就会打开。
刚才你看到了：圆轮子滚起来，车轴一直一样高。为什么圆能做到这一点？现在就来说清楚。
圆心、半径、直径
先拿一张纸，画一个圆。圆的正中间有一个点，叫圆心，一般用字母 O 表示。
从圆心到圆上任意一点的线段，叫半径，用 r 表示。比如下图里那条橙色的线。
通过圆心、并且两头都在圆上的线段，叫直径，用 d 表示。比如下图里那条蓝色的线。
圆轮子为什么车轴一直一样高？因为车轴装在圆心，地面总是碰到圆上的某一点，而圆心到圆上每一点都一样远——都是一条半径那么长。
d = 2r r = d ÷ 2在同一个圆里，直径是半径的 2 倍
为什么是 2 倍？看上图：直径穿过圆心，被圆心分成了两段，每一段都是一条半径。
动手：用圆规画圆
画圆要用圆规：针尖扎在一个地方不动，另一只脚（装铅笔的那只）绕一圈。针尖扎下的地方就是圆心；两只脚张开的距离，就是半径。
动手试
拖滑块改变圆规张开的大小，再点「画一圈」。然后多点几次「再画一条半径」，看看它们长短有没有不同。
记住两句话：圆心决定圆在哪里，半径决定圆有多大。同一个圆里，半径有无数条，而且都一样长；直径也有无数条，也都一样长。
圆是轴对称图形
把一个圆沿着任意一条直径对折，两边正好完全重合。所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴——圆有无数条对称轴。
练一练：哪条是半径，哪条是直径？
点选判断
下面图里有 6 条线段。每一条，选出它是「半径」「直径」，还是「都不是」。点某一行，图里对应的线会变亮。
随堂小测
这一节带走
- 圆心 O 定位置，半径 r 定大小。
- 半径：圆心 → 圆上一点。直径：穿过圆心，两头都在圆上。
- 同一个圆里：d = 2r，r = d ÷ 2；半径、直径都有无数条。
- 圆规两脚张开的距离是半径，不是直径。
- 圆有无数条对称轴。
第 2 节
圆的周长
先猜一猜
一个圆的直径是 1 米。沿着这个圆走一圈，大约要走多少米？
刚才那道题，答案是 3 米多一点。那到底多多少呢？我们来量一量。
什么是圆的周长
围成圆的那条曲线的长度，叫做圆的周长，用字母 C 表示。
曲线没法直接用尺子量。书上有两个办法：绕线法——用一根线沿着圆绕一圈，再把线拉直量；滚动法——在圆上做个记号，让圆在尺子上滚一圈，看记号走了多远。下面就用滚动法。
动手之前，先预测
如果一个圆的直径变成原来的 2 倍，它的周长会怎样？
动手试：让圆滚一圈
选一个直径，点「滚一圈」，再点「记下来」。换几个直径多试几次，看看表格最后一列。
还没有记录。
先在上面选一个预测，这里就会打开。
圆周率 π
不管圆是大是小，周长除以直径，得到的总是同一个数：3.14 多一点。这个数叫做圆周率，用希腊字母 π 表示（读作 pài）。
π 是一个永远写不完的小数：3.1415926……计算的时候，我们一般取它的近似值 3.14。
大约 1500 年前，我国南北朝的数学家祖冲之就算出，π 在 3.1415926 和 3.1415927 之间。这个精度，比欧洲人早了大约一千年。
既然周长 ÷ 直径 = π，反过来就是：周长 = π × 直径。直径又是 2 条半径，所以还有第二种写法。
C = πd C = 2πr知道直径，用左边的；知道半径，用右边的
一步一步算
例题
一个圆形花坛，半径是 5 米。它的周长是多少米？
- ① 先看清题目给的是什么：半径 r = 5 米。
- ② 给的是半径，所以选公式：C = 2πr。
- ③ 把数代进去：C = 2 × 3.14 × 5
- ④ 先算 2 × 5 = 10，再算 3.14 × 10 = 31.4
- ⑤ 别忘了单位：周长是 31.4 米。
练一练：算周长
半圆的周长，是圆周长的一半吗？
先想一想
这个半圆的周长，是不是就等于整个圆周长的一半？
随堂小测
这一节带走
- 任何圆，周长 ÷ 直径 = π ≈ 3.14。
- C = πd，C = 2πr。先看清给的是半径还是直径。
- 用半径算，别忘了乘 2；用直径算，不要再乘 2。
- 半圆周长 = 圆周长的一半 + 一条直径。
第 3 节
圆的面积
先猜一猜
图里那个橙色的小正方形，边长正好是圆的半径 r。整个圆的面积，大约是几个这样的小正方形？
刚才那道题，答案是 3 个多一点。又是 3 点几！它和 π 有没有关系？现在就来说清楚。
什么是圆的面积
圆所占平面的大小，叫做圆的面积，用字母 S 表示。面积的单位是平方厘米、平方米这样的面积单位，不能写成厘米、米。
把圆切开，拼成一个长方形
圆是弯的，不好直接算。我们学过长方形面积怎么算，能不能把圆变成长方形？办法是：把圆像切蛋糕一样，平均切成很多小块，再一上一下地拼起来。
动手之前，先预测
切的份数越来越多，拼出来的图形会越来越像什么？
先在上面选一个预测，这里就会打开。
拼成的长方形，宽就是圆的半径 r。长是什么呢？看颜色：长方形上面一排弯边，是圆周的一半；下面一排也是一半。所以长 = 圆周长的一半 = 2πr ÷ 2 = πr。
长方形面积 = 长 × 宽
圆的面积 = πr × r = πr²r² 读作「r 的平方」，意思是 r × r
这就回答了开头的问题：r² 正好是那个橙色小正方形的面积，而圆的面积是 π 个这样的小正方形——3.14 个。
r² 是 r × r，不是 r × 2。半径是 3，r² 是 3 × 3 = 9，不是 6。这是这一节最容易错的地方。
例题
一张圆桌，桌面直径 2 米。桌面面积是多少平方米？
- ① 题目给的是直径 d = 2 米。面积公式要用半径。
- ② 先求半径：r = 2 ÷ 2 = 1（米）。
- ③ 代入公式：S = πr² = 3.14 × 1 × 1
- ④ 算出来：S = 3.14
- ⑤ 写上面积单位：桌面面积是 3.14 平方米。
半径变大，面积变多少？
动手之前，先预测
半径变成原来的 2 倍，面积会变成原来的几倍？
先在上面选一个预测，这里就会打开。
练一练：算面积
随堂小测
这一节带走
- 圆切拼成近似长方形：长 = πr，宽 = r。
- S = πr²，r² = r × r。
- 给了直径，先除以 2 求半径，再算面积。
- 半径变成 2 倍，面积变成 4 倍（2 × 2）；变成 3 倍，面积变成 9 倍。
- 周长用长度单位（厘米），面积用面积单位（平方厘米）。
第 4 节
扇形和圆环
先想一想
一张圆形披萨，切下一块，这一块尖尖的角正好是 90°（一个直角）。这一块是整张披萨的几分之几？
刚才那道题，答案是四分之一。角的大小，决定了这一块占整个圆的多少。这样的一块，在数学里有自己的名字。
弧、圆心角、扇形
圆上 A、B 两点之间的这一段曲线，叫做弧，读作「弧 AB」。上图绿色的那段就是。
顶点在圆心的角，叫做圆心角。上图 O 点那个角就是，度数记作 n°。
两条半径和它们之间的弧围成的图形，叫做扇形。上图橙色的那块就是。
一整圈是 360°。所以圆心角是 n° 的扇形，占整个圆的 n/360（360 份里的 n 份）。
动手之前，先预测
在同一个圆里，把圆心角变大，扇形会怎样？
先在上面选一个预测，这里就会打开。
扇形面积 = 圆的面积 × n/360先求整个圆，再看扇形占几分之几
试着把半径调小，圆心角不变：扇形也跟着变小了。所以扇形的大小，既看圆心角，也看半径。只有在同一个圆里（半径一样），才是圆心角越大、扇形越大。
圆环
从一个大圆里，挖掉一个和它同一个圆心的小圆，剩下的部分就叫圆环。光盘、垫圈、甜甜圈都是这个形状。大圆的半径用 R 表示，小圆的半径用 r 表示。
先在上面选一个答案，这里就会打开。
圆环面积 = 大圆面积 − 小圆面积
S = πR² − πr²也可以写成 S = π(R² − r²)，先算括号里面，少算一次乘法
随堂小测
这一节带走
- 弧：圆上两点间的曲线。圆心角：顶点在圆心的角。扇形：两条半径 + 弧。
- 圆心角 n° 的扇形，占圆的 n/360；面积 = 圆面积 × n/360。
- 扇形大小看两样：圆心角和半径。
- 圆环面积 = 大圆面积 − 小圆面积，不是 (R − r)² × π。
章末复习
把整章串起来
知识结构图
易错清单
下面每一条，都是真有很多同学栽过的坑。对照看看，自己踩过哪几个。
- 题目说「直径 8 厘米，求面积」，直接算 3.14 × 8 × 8 = 200.96。忘了先除以 2。正确是 3.14 × 4 × 4 = 50.24 平方厘米。
- 半径 5 米求周长，算成 3.14 × 5 = 15.7。用半径要乘 2，正确是 2 × 3.14 × 5 = 31.4 米。
- 半径 3 求面积，算成 3.14 × 3 × 2 = 18.84。r² 是 3 × 3，不是 3 × 2。正确是 28.26。
- 直径 4 米的半圆求周长，只算了弧 6.28 米，忘了加上直径那条 4 米。正确是 10.28 米。
- 面积算对了，单位写成「厘米」。面积要写平方厘米。
- 圆环外半径 5、内半径 3，算成 (5 − 3) × (5 − 3) × 3.14 = 12.56。要两个圆分别算面积再相减：3.14 × (25 − 9) = 50.24。
- 圆规两脚张开 3 厘米，以为画出的圆直径是 3 厘米。两脚距离是半径，直径是 6 厘米。
综合检测
做题前，先问自己三句话
- 题目给的是半径还是直径？
- 要求的是周长（一圈多长）还是面积（占多大地方）？
- 答案的单位写对了吗？
学完及时做题，别拖到明天。拿不准的时候，先在草稿纸上把圆画出来。