多边形和圆的初步认识
北师大版数学 · 七年级上册 · 第四章 第 5 节
这一页学完，你应该能做到
说清楚多边形的顶点、边、内角、对角线；算出 n 边形从一个顶点能画几条对角线、分成几个三角形；知道什么是正多边形；认识圆、圆心、半径、弧、扇形、圆心角，会按比例算圆心角。
先听丁老师说两句
这一节名词多，但都能一眼看明白。只有两个地方要小心：对角线连的是「不相邻」的两个顶点，还有扇形占整圆的比例，就是圆心角占 360° 的比例。
先猜一下
从一个八边形的某一个顶点出发，能画出多少条对角线？
一重点
多边形：顶点、边、内角、对角线
由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，叫多边形。
n 边形有 n 个顶点、n 条边、n 个内角。
连接不相邻两个顶点的线段，叫多边形的对角线。
「不相邻」三个字最要紧：一个顶点自己连不了，左右两个邻居连出来的是边不是对角线。所以从一个顶点出发，能连的只剩 n − 3 个顶点。
动手 · 从一个顶点画对角线
拖滑块换边数。红虚线是连不成对角线的三条（自己、左邻、右邻）。
二重点
圆、弧、扇形
平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫圆。
固定的那个端点是圆心，这条线段的长是半径。
圆上任意两点 A、B 之间的部分叫圆弧（简称弧），记作 ⌒AB。
一条弧和经过它两个端点的两条半径围成的图形叫扇形；
顶点在圆心的那个角，叫圆心角。
扇形占整个圆的比例，就等于圆心角占 360° 的比例。所以扇形面积 = 圆面积 × (圆心角 ÷ 360°)。
动手 · 拖出一个扇形
拖圆心角，看扇形占整个圆的多少、面积是多少。
动手 · 按比例分圆
把一个圆分成几个扇形，给定比例，算出各自的圆心角。
这一节最容易错的五处
- 把边当成对角线。相邻两个顶点连起来是边。从一个顶点出发只有 n − 3 条对角线。
- 把「从一个顶点」和「一共」搞混。从一个顶点是 n − 3 条，整个多边形一共是 n(n − 3)/2 条。
- 分成的三角形数记成 n − 3。是 n − 2 个——比对角线条数多一个。
- 正多边形只看边相等。要边相等而且角也相等，两条都要。菱形四边相等但角不等，不是正多边形。
- 算扇形忘了除以 360。扇形面积 = 圆面积 × (圆心角 ÷ 360°)。
今天记住这三句
- 对角线连的是不相邻的两个顶点。从一个顶点出发 n − 3 条，把多边形分成 n − 2 个三角形。
- 正多边形：边相等而且角相等，缺一条都不算。
- 扇形占整圆的比例 = 圆心角 ÷ 360°。