北师大版数学 · 八年级上册 · 第一章 第 1 节
这本书怎么学、这个课件怎么用，一分半讲完。整本书只需要听这一次。
一个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4。斜边有多长？
直角三角形里，两条直角边（常记作 a、b）和斜边（记作 c）之间有一个固定关系：
注意，关系是建立在平方上的，不是边长本身。3 + 4 = 7，但 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。所以斜边是 5，不是 7。
中国古代把直角三角形较短的直角边叫「勾」，较长的叫「股」，斜边叫「弦」，所以这条定理也叫勾股定理。《周髀算经》里就有「勾三股四弦五」的记载。
在三条边上各向外画一个正方形。改变两条直角边的长度，两个小正方形的面积之和，还会等于大正方形的面积吗？
把 a 拖到最小试试——三角形几乎压扁了，等式照样成立。
正在出题…
北师大版数学 · 八年级上册 · 第一章 第 2 节
古埃及人要在地上画出一个标准的直角，用的工具是一根绳子——上面等距打了 13 个结，把绳子分成 12 段。三个人分别拉住第 1、第 4、第 8 个结，把绳子绷紧，就得到一个直角。
为什么这样拉出来的角一定是直角？
上一节是：已知直角三角形，得到 a² + b² = c²。这一节反过来问：如果三条边恰好满足 a² + b² = c²，这个三角形一定是直角三角形吗？
答案是一定。这叫勾股定理的逆定理。
说全了是这样：如果三角形的三条边 a、b、c 满足 a² + b² = c²，那它就是直角三角形。
直角在哪儿？在 c 所对的那个角上——也就是最长的那条边对着的角。这一句要记住，判定的时候全靠它。
满足这个关系的三个正整数叫勾股数。常见的有 3,4,5 ／ 5,12,13 ／ 8,15,17 ／ 7,24,25。它们的整数倍也是勾股数：6,8,10 和 9,12,15 都由 3,4,5 放大得来。
三条边是 3、4、6。这是直角三角形吗？
试试 1、2、3 —— 看看会发生什么。
下面六组三边，哪些能构成直角三角形？逐个点，点完就知道。
北师大版数学 · 八年级上册 · 第一章 第 3 节
一根长 3 米的竹竿，能不能整体从一个高 2 米、宽 1 米的门框同时通过？
应用题里，勾股定理本身的计算通常不难。难点在两步：把实际图形里藏着的直角三角形找出来，以及分清哪条是斜边。
常见的几类：靠墙的梯子、旗杆折断、河宽测量、能不能通过某个开口、立体图形上的最短路径。
就拿上面那道门框题。题目说「整体、同时」通过，意思是某一个瞬间，整根竹竿都在门框里面。把它翻译成数学语言：
问题就变成了这么一句话：一条 3 米长的线段，能不能整个装进一个 1×2 的长方形里？
那么，我们要找的那个直角三角形在哪儿？它的斜边又是哪一条线段？下面自己动手转一转，把它找出来。
把竹竿的一端按在门框的左下角，绕着这个角往上转。盯住另一端——它什么时候在门框里面，什么时候跑出去了？
先按「3 米」，再点「对准最划算的角度」——最划算的方向都过不去，别的方向就更不用试了。然后把竹竿一点点调短，看那个可行的角度区间是怎么张开的。
一架 5 米长的梯子靠墙。底端每次向外移 1 米，顶端下滑的距离都一样吗？
一只蚂蚁要从长方体的一个顶点，沿表面爬到体对角线另一端的顶点。把盒子展开成平面后，走直线最短——但展开的方式有三种，哪种最短？
先选一种展开方式，再拖「摊平程度」那根滑块。盯住那条绿色路径——盒子摊平的瞬间，它从折线变成直线。
第一章 勾股定理 · 全章梳理
三节怎么串起来、最容易丢分的几个地方，还有两个课本上没有的小故事。
难度递进，最后两道是常考的综合题型。